你是否曾经疑惑，为什么积分的导数能够回到原函数？这个联系是微积分基本定理的核心，它优雅地将微分和积分这两个微积分的中心概念结合在一起。
$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = f(x) \, $
一般也会写成
$\frac{dF(x)}{dx} = f(x) \, $ 其中 $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$
为了证明这一点，我们将使用导数的 基本定义，并利用积分均值定理。
让我们首先定义函数 $F(x) = \int_a^x f(t) , dt$。我们希望求出 $F(x)$ 对 $x$ 的导数。简单地重写 $F(x)$ 的导数定义，我们得到：
$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \, dt = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_a^{x+\Delta x} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt}{\Delta x}$
上面的表达式可以根据定积分的加法性质来简化。根据这个性质，如果我们有一个区间，我们可以将该区间的积分分成两个部分：
$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_a^x f(t) \, dt + \int_x^{x+\Delta x} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt}{\Delta x}$
$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\int_x^{x+\Delta x} f(t) \, dt}{\Delta x}$
根据积分的均值定理，对于在区间上的连续函数，存在某个点使得：
$\int_a^b f(t) \, dt = f(c) \cdot (b-a)$
而在我们的例子中:
$\int_x^{x+\Delta x} f(t) \, dt = f(c) \cdot \Delta x$
其中 $c$ 是 $x$ 和 $x + \Delta x$ 之间的某个点。当 $\Delta x \to 0$ 时，$c \to x$。因此，我们可以将上述表达式重写为：
$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x) \cdot \Delta x}{\Delta x} = f(x)$